反比例函数知识点总结

第1篇：反比例函数知识点总结

各位同学们注意啦，小编给大家带来了反比例函数知识点总结，下面贴出内容，希望大家喜欢。

若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于0的实数。同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。

那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。

步骤/方法以下是反比例函数知识点总结

1、反比例函数的表达式

x是自变量，y是x的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^（-1）（即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方）

y=kx(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n

2、函数式中自变量取值的范围

①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^（-1）

y=kx(k为常数(k≠0），x不等于0）

3、反比例函数图象

反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola），

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近x轴y轴但不会与坐标轴相交（k≠0）。

4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？

过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点p（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、p点组成一个矩形，矩形的面积s=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点p作x轴、y轴的垂线pm、pn，垂足为m、n则矩形pmon的面积s=pm·pn=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

5、反比例函数*质有哪些？

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点p，q，过点p，q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为s1，s2则s1=s2=|k|

5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于a、b两点（m、n同号），那么ab两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x，y=-x轴对称，并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点

第2篇：正比例函数知识点总结

正比例函数属于一次函数，是一次函数的一种特殊形式。即一次函数形如：y=kx+b（k为常数，且k≠0）中，当b=0时，则叫做正比例函数。下面是小编收集整理的正比例函数知识点总结，希望对您有所帮助！

—正比例函数公式

正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的正比例函数。

正比例函数的*质

定义域：r(实数集)

值域：r(实数集)

奇偶*：奇函数

单调*：

当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;

当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期*：不是周期函数。

对称*：无轴对称*，但关于原点中心对称。

图像：

正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。正比例函数的图像是一条过原点的直线。

正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。

正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

正比例函数图像的作法

1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;

2、根据第一步求的x、y的值描出点;

3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

第3篇：九年级数学反比例函数知识点总结人教版

函数的相关知识非常多，也是各种数学考试中常出现的题目。接下来是小编为大家收集整理的九年级数学反比例函数知识点总结人教版，欢迎大家学习!

一、背景分析

1.对教材的分析

本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和*质的过程。

本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念。函数的*质蕴涵于概念之中，对反比例函数*质的探索是对其内在规定*的的认识，也是对函数的概念的深化。同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。

传统教材在内容和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步*质的探索打下良好的基础。因为在学生进行函数的列表、描点作图是活动中，就已经开始了对反比例函数*质的探索，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体*认识。在旧教材中对反比例函数*质只是简单观察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注重从*作、观察、概括和交流这些数学活动中得到*质结论，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。

(1)教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和;逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要*质。

(2)重点：会作反比例函数的图象;探索并掌握反比例函数的主要*质。

(3)难点：探索并掌握反比例函数的主要*质。

2、对学情的分析

九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与*质没有多大的帮助，但由于本节课采用z+z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。

教学过程

一、忆一忆

师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗?一次函数的图象是什么图形?

生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：(1)列表(2)描点(3)连线。

生乙：一次函数的图象是一条直线。

师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=4/x是什么函数?

生：反比例函数。

师：你们能作出它的图象吗?

生：可以。

点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。

二、作图象，试比较

师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。

师：再按照上述方法作y=-4/x的图象。

(学生动手*作)

师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。

(学生讨论交流，教师参与)

师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法?

生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。

生2：y=4/x的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=-4/x的图象的两支曲线分布在二、四象限内。

点评：这里让学生自己上台*作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。

三、细观察，找规律

师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。

(展示图象，让学生观察y=k/x的图象，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论)

师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。

生：我发现函数图象的变化与k的值有关：当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。

师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。

(1)反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。

(2)当k>0时，两支曲线分别在一、三象限;当k<0时，两支曲线分别在二、四象限。

(3)当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。

师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，你会发现什么现象?这说明了什么问题?

(由学生在电脑上进行*作)

生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。

师：大家做得很好。那么，如果我们在图象上任取a、b两点，经过这两点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为s1、s2，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。

题目：(1)拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。(2)拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k值怎么变化，矩形的面积始终不变。

师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。

点评：在这个环节中，既让学生动手*作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。

四、用规律，练一练

1、课本137页随堂练习1

生：第一幅图是y=-2/x的图象，因为在这里的k<0，双曲线应在第二、四象限。

2、下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个?在其图象所在象限内，的值随的增大而增大的有哪几个?

(1)y=1/(2x)(2)y=0.3/x(3)y=10/x(4)y=-7/(100x)

生：其中(1)(2)(3)的图象在一、三象限;(4)的图象在每一象限内，y随x的增大而增大。

五、想一想，谈收获

师：通过今天的学习，你有什么收获?

生*：我今天知道了怎样画反比例函数的图象。

生乙：我今天知道了反比例函数的图象是由两支曲线所组成的。

生*：我还懂得了：当k>0时，图象分布在一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分布在二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大

生丁：我还能用反比例函数的相关*质解题。

师：看来大家今天学到了不少知识，只要大家能保持这种对数学的热情和勇于挑战的精神，在数学上一定会有所收获的。

总评：本节课很好的反映了新课程的一些理念，首先，就是将数学教学与多媒体教学进行了很好的整合，尤其是采用了z+z智能教育平台进行教学，在本节课从进入课堂到结束，始终有多媒体教学的参与，如在讲解反比例函数的*质时运用多媒体展示可以给学生以直观的感受，并给学生留下深刻的印象，教师也能熟练地*作电脑，可以看出教师扎实的基本功。其次，在本节课的教学中，教师将学习的主动权交给学生，课堂始终在学生自主探索、合作交流的气氛中进行，如在得出反比例函数的*质时，就在小组内进行了广泛交流，由学生自己去探索，去发现新知识，这样可以激发学生求知的欲望，达到事半功倍的目的。同时教师也主动的参与进去，把自己也当成了教室里的一员，真正体现了新课程的理念。